1) Les quatre opérations – dont la division ! –
 

La division est bien effectivement l'opération sur laquelle devait se reporter toutes les difficultés puisque sa maîtrise technique suppose en elle-même la maîtrise des trois autres opérations, y compris des compétences en calcul mental. Les différentes pratiques d'apprentissages qui ont sévi dans le primaire ont abouti à ce que les élèves aient de plus en plus de mal à faire des divisions.
La réaction n'a pas, bien sûr, été de remettre en place des techniques d'apprentissage qui avaient fait leurs preuves depuis un siècle mais d'adapter le programme à la baisse de niveau en le justifiant par l'insistance sur le « sens de l'opération » et en opposant ce sens à la technique opératoire.

Les positions défendues dans le programme de 96 et les commentaires sont assez révélatrices :
(les citations entre « » sont extraites du programme et des commentaires de 96)
 

a ) "La multiplication des nombres décimaux est une nouveauté de la classe de sixième tant du point de vue du sens que de la technique".

Autrement dit, ce qui était au programme de CM1 depuis 1882 est maintenant une nouveauté en sixième... Autrement dit, des problèmes aussi compliqués que ceux du type "Quelle est la circonférence d'un cercle de 2,50 m de rayon ?", "Quel est le prix de 2,5 kg de patates à 8,30 Fr. le kg ?" sont hors programme de l'école primaire. Le niveau monte. Ajoutons que, si l'on ne réduit pas la lecture d'un texte à la compréhension (?) de la suite des mots de ce texte mais à ce que représentent réellement ces mots, cela réduit l'invocation magique et répétitive à l'importance des problèmes– "se confronter à des problèmes est une activité essentielle en mathématiques " nous dit encore une fois le B.O. de l'école primaire 2000 – à sa valeur réelle.
 

b ) « la division est une opération en cours d'acquisition au collège »

Même remarque que précédemment : ceci signifie clairement de plus qu'elle n'a pas à être acquise en primaire. De plus, elle n'a pas à être acquise en sixième puisque le même programme précise que les compétences exigibles se réduisent à : « Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d'un nombre entier d'un ou deux chiffres [la division – sans virgule – de 1 213 par 153 est donc hors « compétence exigible »]. Effectuer, dans des cas simples [!!?], la division décimale d'un nombre entier ou décimal par un nombre entier [diviser 2,1 ou par 0,3 est donc hors-programme]. » Les commentaires du programme de 96 enfoncent le clou en redisant bien que, en sixième, « Aucune compétence n'est exigible quant à la technique de la division à la main de deux nombres décimaux ». Si ce n'est pas à la main, on peut peut-être le faire à la machine puisque... elle donne le résultat ?
Là aussi, des compétences qui étaient demandées depuis 1882 en CM2 n'ont plus à être enseignées en sixième et même en cinquième puisque la technique recommandée dans cette dernière classe – utilisation de l'égalité de fractions de 5,34/ 2,1 = 534 / 210 permet certes de trouver le quotient – à la calculatrice puisque la technique de la division à plus de chiffres au quotient n'est pas apprise et ne vient donc pas toute seule à des élèves qui ont déjà de grosses difficultés pour les divisions par des entiers inférieurs à 100 – mais ne permet pas de trouver le reste... à part à la machine.

Si l'on sort de la logique formelle interne aux rédacteurs des programmes, se pose de plus la possibilité réelle d'apprendre la technique des opérations à partir de l'entrée au collège si elles ne sont pas acquises en primaire : c'est effectivement impossible, car cet apprentissage est surtout basé sur la répétition et l'acquisition progressive d'automatismes, très gourmands en temps et impossible à réaliser au collège. Ceci vaut également pour pratiquement tous les apprentissages fondamentaux et a pour effet direct l'augmentation des élèves – à tous les niveaux – ayant effectivement des "lacunes dans les connaissances de base" comme le mentionnent les bulletins trimestriels.A cela s'ajoute les injonctions rectoralo-ministérielles de réduction des taux de redoublement qui visent normalement les élèves qui ont le plus besoin de redoubler et qui ont le plus de "lacunes", ce qui ne fait que placer des élèves, l'année suivante, dans une situation de plus en plus délicate et produit par là même une demande de "remédiation" sous la forme notamment de "parcours diversifiés".

Nous avons là  la théorisation d'un ensemble de pratiques dont le résultat essentiel – essentiel et négatif surtout pour les années suivantes où l'on doit de plus en plus, si l'on veut faire des maths et non pas du bricolage, penser toujours à la "mathematical closure" de notre enseignement et de l'ensemble des questions traitées – est de

-i) mettre en avant la notion de projet pédagogique et de détruire encore plus la notion de progression et de programmes qui sont essentielles en mathématiques car la cohésion des progressions et des programmes est la condition de la possibilité pour l'élève d'effectuer des démonstrations en ayant une axiomatique peut-être pas "totale" : c'est-à-dire que certains théorèmes sont admis explicitement – autrement dit que l'on peut considérer que comme ils ne sont pas démontrés par l'élève, ce sont pour lui des axiomes –, l'essentiel étant que l'élève puisse toujours s'appuyer sur un raisonnement mathématique précis et cohérent. On est ainsi passé

- 1) dans les années 70, d'un formalisme pointilleux où l'on expliquait qu'il ne fallait pas confondre l'ensemble E et la partie qui ne comprend que l'ensemble E ou plus généralement à la rédaction de démonstrations exclusivement algébriques – dont René Thom disait :

"Un problème d'algèbre ne peut guère être qu'un simple exercice requérant l'application aveugle de règles de calcul, d'un schéma formel préétabli. Sauf rarissimes exceptions, il n'est pas question de faire démontrer par un élève un théorème d'algèbre : car, ou la propriété demandée est presque immédiate, et se démontre par substitution directe de la définition au défini, ou le problème est une vraie question d'algèbre théorique, et sa résolution excédera les capacités de l'élève le plus doué. Avec à peine un peu d'exagération ; on pourrait dire que toute question d'algèbre est « triviale » – ou indécidable. Au contraire, le problème classique de géométrie peut présenter une gamme très échelonnée de difficultés. Reste que, de toute manière, 1e problème de géométrie exige beaucoup de temps, d'efforts, une réflexion soutenue, des capacités  combinatoires dont peu d'élèves sont capables. Peut-être la géométrie euclidienne est-elle, comme la version latine, un de ces exercices nobles et désuets, réservés à une élite, et incompatibles avec un enseignement de masse. Si tel était le cas, alors l'éviction de la géométrie serait essentiellement un problème sociologique que je préférerais ne pas discuter. Mais ce serait en tout cas une erreur considérable que de croire faciliter l'acquisition des mathématiques en remplaçant la géométrie par des structures algébriques inculquées massivement et prématurément  faute d'une motivation convenable.".
René Thom in  "Les mathématiques "modernes": une erreur pédagogique et philosophique" (" L'Âge de la science"  3  p. 225-236.)

C'est-à-dire que l'on a détruit la notion même de démonstrations en maths en faisant des démonstrations qui n'en étaient que des caricatures car le besoin ressenti par l'élève de la nécessité des démonstrations ne peut pas venir lorsqu'on lui présente comme exemples de celles-ci des exercices scolastiques : mon expérience, certes trés réduite, me porte à penser que les trois domaines de base ou l'on peut pratiquer des démonstrations non triviales et ressentir à la fois le besoin de démonstration et la nécessité de l'intuition sont essentiellement les problèmes d'arithmétique, les problèmes de géométrie synthétique et les problèmes analytiques de majoration/minoration (les fameux problèmes d'epsilon coupés en 236 qui font d'ailleurs souvent appel à une intuition géométrique) : or ces trois  domaines sont des domaines actuellement interdits par les programmes puisque
a) les cas d'égalité des triangles – comme outil irremplaçable d'apprentissage des bases de  la démonstration –  ont été supprimés et qu'il n'existe pas d'axiomatique globale explicite sur laquelle peuvent s'appuyer les élèves en collège, ce qui ne permet aucun entraînement sérieux à ce niveau à la démonstration*
b) les capacités en calcul des élèves ne leur permettent plus de faire des calculs de majoration.
c) l'arithmétique n'est plus enseignée*
* je sais que les nouveaux programmes depuis un an se proposent ça et là de réintroduire et les cas d'égalité des triangles et l'arithmétique mais les conditions "bricolées" dans lesquels cela est pratiqué risquent d'avoir les mêmes effets que le "retour au concret" qui a suivi la "période abstraite".

- 2) après 1975/80, la réaction n'a pas été de critiquer le caractère formel du formalisme précédent, mais d'opposer en général la formalisation au "sens" – c'est d'ailleurs la seule chose qui ait été tirée des textes de R. Thom, en accord peut-être avec la lettre de ce qu'il dit mais moins avec l'esprit car R. Thom ne critique pas la formalisation  en soi mais ses excès – : or le sens et le formalisme ne s'opposent pas mais sont complémentaires car le sens d'un phénomène est déterminé par le système complet de pensée au travers duquel il est perçu et l'ensemble d'un système de pensée ne prend du sens non pas en lui-même – voilà le structuralisme –  mais dans ses relations avec son champ de validité – lui-même n'étant pas indépendant du champ "social" qui produit la problématique qui permet de le percevoir. On peut donner comme exemple les rapports du mouvement apparent du soleil en fonction des différentes conceptions du système solaire. Mais il est également possible de comprendre que 11 ne prend son sens qu'associé au groupe de Matthieu (c'est-à-dire à la classification des groupes finis qui est bien une formalisation et qui plus est maintenant apparemment définitive) tandis que cette même formalisation ne prend son sens définitif que par l'existence des ordres bien définis des 26 groupes sporadiques. La critique formelle du formalisme ne pouvait aller que vers le refus de toute formalisation c'est-à-dire un mouvement qui refuse la cohérence interne des mathématiques et met donc en cause la notion de preuve qui est la base mathématique de la cohérence de cette matière : on a donc vu l'apparition de titres tels que "La mort de la preuve" et l'influence de ce type de thèses sur la pédagogie des mathématiques comme le signale Jeremy Kilpatrick dans son article  "Confronting Reform" :

"A large part of the standards-based reform is built on the view that mathematics itself has become more computational and less formal. "In recent years, a reaction against formalism has been growing. In recent mathematical research, there is a turn toward the concrete and the applicable. In texts and treatises, there is more respect for examples, less strictness in formal exposition" . Even before the recent controversy over "the death of proof", so-called informal geometry courses, minus proof, were being introduced into high schools as state legislatures and school districts mandated "geometry for all." For some high school teachers, the call for "decreased attention" to "Euclidean geometry as a complete axiomatic system" and "two-column proofs"  has been interpreted as permission to do away with proof altogether, for everyone . (For an eloquent defense of proof in high school geometry, together with a proposed year-long syllabus, see [32].) And clearly the availability of computer software and graphing calculators has made it easier than ever before to visualize relationships and test numerous cases of a generalization before or in place of providing deductive justifications."

Une première leçon que l'on peut tirer est que, une fois de plus, l'enseignement des parties fondamentales des mathématiques, doit être globalement indépendant des dernières découvertes de la recherche et la preuve mathématique traditionnelle doit être enseignée comme démarche fondamentale de la pensée mathématique, cette preuve devant toujours s'appuyer sur une axiomatique qui peut être partielle mais qui doit être cohérente et explicite dans l'enseignement, ce qui ne s'oppose pas mais au contraire conditionne l'efficacité de l'intuition. L'intuition devient sans objet si elle ne peut apporter la preuve de la vérité de son contenu qui est toujours lié à un sytème axiomatique dont il vaut mieux qu'il soit conscient. Quant à la preuve formelle elle devient sans objet si elle... n'a rien à prouver. Sur cepoint plusieurs remarques :
- la construction – ou plutôt la mise à jour – d'une axiomatique n'est pas une activité "axiomatique" et ceci est d'autant plus vrai pour la mise en place d'axiomatiques locales ou semi-locales destinées à structurer une progression dans l'enseignement : le seule solution est, à mon sens, de déterminer les axiomatiques locales des progressions qui ont fait leurs preuves.
- les mises en cause de la preuve mathématique "classique", lorsqu'elles ne sont pas faites par des guignols mais des mathématiciens comme Gregory J. Chaitin  qui se posent sérieusement la question de la transformation des mathématiques en "science expérimentale" – que l'on soit d'accord ou non avec leurs thèses qui appuient leurs arguments sur l'importance des ordinateurs – ne proposent pas "d'intégrer les dernières découvertes de la science" dans l'enseignment secondaire ou primaire mais s'expriment de la maniére suivante :

"Mais le simple fait que tout le monde fasse quelque chose ne signifie pas bien sûr que cette attitude soit justifiée. Le changement dans la façon dont les mathématiciens se comportent ne provient pas du théorème de Gödel, de celui de Turing ou de mes propres théorèmes, mais de l'ordinateur. Je pense cependant que la suite de travaux que je viens de retracer fournit une justification théorique à ce que tout le monde accomplit sans soucis d'une telle explication. Et je pense aussi que la question de savoir comment l'on devrait actuellement faire des mathématiques requiert au moins [en gras dans l'original - MD] - le travail d'une autre génération. C'est fondamentalement ce que je voulais dire, et je vous remercie pour votre attention."
In "Le hasard en arithmétique et le déclin et la chute du réductionnisme en mathématiques pures" de G.J. Chaitin

Une seconde leçon est plus compliquée : il y a une relation assez directe entre la place de la preuve en mathématiques et la conception que l'on a du développement des mathématiques. On trouve en gros deux grandes tendances :
- l'une exhibe toujours comme exemple celle des nombres complexes qui ont été découverts "mathématiquement" avant que l'on ne s'aperçoive qu'ils pouvaient représenter des phénomènes physiques, c'est-à-dire qu'ils mettent une conception du développement des mathématiques comme une croissance endogène exclusivement interne aux mathématiques et la preuve formelle – c'est-à-dire se référant à un système théorique complet et fermé –  est dans ce cas considérée comme le seul critère de "vérité" et l'on a reconnu dans cette tendance le formalisme bourbakiste (ou sa caricature "La Mathématique")
- l'autre exhibe par exemple l'intégrale de Dirac qui, au moment où elle a été inventée par celui-ci, était un objet qui ne s'intégrait pas logiquement aux mathématiques existantes (il a fallu attendre pendant une vingtaine d'années la théorie des distributions pour que cette intégration formelle soit réalisée) : ceux-là mettent en avant une croissance exogène des mathématiques et la preuve de "vérité mathématique" est "que ça marche" : on a reconnu là aussi l'empirisme qui dévalue l'importance absolue de la preuve formelle (c'est-à-dire rapportée à la/les structure(s) des mathématiques considérées comme un ensemble structuré)

Hors de toute analyse historique (c'est-à-dire hors du cadre historique qui fait, par exemple, que les anciens considéraient que le siège de l'intelligence était le diaphragme tandis que les modernes prétendent que ce siège est dans la cerveau, conception qui n'est pas indépendante de l'état de développement social et technique de la société ou plutôt des sociétés dans lesquelles existent des mathématiques), il est possible de dire que les mathématiques sont tout cela simultanément, ce qui indubitable, et plus difficiles à penser que l'opposition formelle endogène /exogène :
a) à chaque moment de leur histoire, les mathématiques tendent à la cohérence qui à un moment donné n'est jamais absolue et l'on sait que cette tendance est asymptotique c'est à dire qu'elle n'atteint jamais l'asymptote d'un système unique, fini et stable (à moins de dire que tout est "élément" mais le sens n'en est pas très riche) : ce qui à la fois s'oppose et renforce cette tendance est justement la croissance des mathématiques qui n'est pas simplement interne.
b) à chaque moment les mathématiques se nourrissent de l'intuition de ce qui est n'est pas mathématique, c'est-à-dire l'expérience humaine – et de ce qui l'est déjà – mais la possibilité d'intégrer cette expérience est l'existence du corpus qui permet de penser cette intégration soit en s'y opposant dans une première phase pour en garantir ensuite l'intégration cohérente soit en s'y intégrant plus directement.
En conséquence, la preuve formelle, l'expérience et l'intuition ne sont opposées que dans une vision formaliste : dans la réalité elles se conditionnent réciproquement et il est impossible – et n'a jamais existé – une seule de ces catégories de phénomènes existant indépendamment des autres. Pour ceux qui sont intéréssés par le sujet non pas strictement du point de vue pédagogique, mais du point de vue de la philosophie des mathématiques, voici quelques liens.
 

- ii) de justifier encore plus le besoin des conseils éclairés des SDE et divers cognitivistes qui, ayant créés ainsi leur propre marché, l'entretiennent et le développent. On a la situation idéale du créateur de virus qui peut ainsi proposer son antivirus, qui justifie à son tour, la dernière version de l'antivirus dépassée par un nouveau virus...

Il y a un aspect supplémentaire bien étrange : la présentation du ministère prétend que, à la fin du CM2, "[l'élève] maîtrise les quatre opérations et utilise le calcul mental," tandis que les programmes de sixième correspondants précisent qu'elles sont "en cours d'acquisition". Deux explications possibles – mais la vérité est peut-être ailleurs – :

1) on peut maîtriser avant d'avoir fini l'acquisition : c'est un peu comme le crédit à la construction, on est propriétaire mais il y a les hypothèques
2) le ministère n'est pas vraiment fier de ses positions et exposer au grand public la réalité des programmes du primaire et du secondaire présente quelques dangers : en effet lorsque des parents disent – et la fraction de ceux qui le pensent commence à être majoritaire – : "Qu'est-ce qu'ils font à l'école ? De mon temps, on savait lire et faire les divisions en CM1...". Et les parents sont plus difficiles à maîtriser que les enseignants : les parents ne sont pas tous des fonctionnaires, les inspecteurs ne contrôlent pas les parents et leur avis n'a pas d'incidence sur leurs portefeuilles.

En Septembre 99, Sud-Ouest publiait un tableau intitulé "Les programmes classe par classe" dans lequel on lisait effectivement un succédané obscurci de l'obscure prose ministérielle puisque les élèves apprennent le calcul avec les nombres décimaux dès le "cycle d'approfondissement" et y maîtrisent les opérations mais sont encore en cinquième à avoir comme un des trois objectifs désignés... les opérations sur les décimaux.

Niveau CE2, CM1, CM2 : "Calcul avec les nombres décimaux, maîtrise des quatre opérations"
Niveau Sixième: "Travaux numériques : les 4 principales opérations (addition, soustraction, multiplication, division)". Sic : le journaliste qui a du effectivement lire le programme, invente le concept "d'opérations principales", concept dont personne ne connait le sens à part l'auteur, ce qui à la fois permet de s'aligner sur la prose ministérielle et de pouvoir prétendre ensuite que l'on avait tout dit. Ce n'est pas tout à fait du journalisme d'investigation, c'est plutôt du journalisme de dissimulation.
Niveau Cinquième : "Travaux numériques: opérations sur les décimaux..."

3) de toutes façons, les corporatismes du primaire et celui du secondaire ne sont pas arrivés à se mettre d'accord : chacun cherchant à faire porter à l'autre le chapeau tout en parant sa propre activité d'habits chatoyants. Cela promet d'intéressantes discussions sur la liaison CM2-6ème. Ce léger détail avait été signalé à l'IEN de mon bassin lors d'une réunion justement CM2/Sixième pendant l'année scolaire 97/98 : il avait dit qu'il en référerait aux autorités compétentes.

c) Justifications des concepteurs des programmes

Les rédacteurs du programme et les corps d'inspection sentent bien qu'il faut justifier l'injustifiable et, au nom du dada actuel "avoir le sens des opérations", déclarent sans honte :

"On tendra à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes"

Jolie phrase – bien caractéristique des mathématiques réduites à des outils ou à des techniques, ce qui est absurde car il n'a jamis existé et il n'existera jamais de technique sans science et de science sans technique correspondante – mais qui ne signifie rien puisque cette maîtrise dépend du problème que l'on pose. Si le problème est "Je dépense 3 F. pour acheter une orange et 2 F. pour acheter un citron. Combien ai-je dépensé ?", il est bien évident que la maîtrise « exigible » en calcul suffit , mais pour combien de temps ?
Si les problèmes, dont on peut observer la remarquable difficulté, sont : "La circonférence d'un cercle mesure 2,50 m. Quel est son rayon ?" ou " J'achète des patates à 8,30 F. le kg. Quel poids de patates ai-je acheté si j'ai payé 30,50 F. ? ", il ne faut pas les poser puisque le programme de sixième se limite la maîtrise de la division à la division par un entier. Ce qui veut dire que les problèmes « concrets » également à la mode se réduisent – au mieux mais en dépassant déjà les « compétences exigibles » – au cas où les patates au détail ont la bonne volonté de ne peser que des nombres entiers de kg. Pi ayant du mal à être un entier, on se passera donc de la recherche du rayon d'un cercle lorsqu'on connaît sa circonférence.

Mais, si la calculette est autorisée sans que son utilisation soit strictement définie – ce qui est le cas –, il suffit de ne pas savoir calculer pour "qu'il n'y ait pas d'obstacle à la résolution des problèmes". A part que, comme l'apprentissage et de la division et du calcul mental sont inexistants – l'un étant extrêmement lié à l'autre – , il n'y a plus de compréhension possible du fameux « sens de l’opération » et qu'il n'est pas du tout sûr que l'élève utilise à bon escient la calculette.
Et la réalité des problèmes posés dans les manuels de sixième se conforme effectivement à ce qui est possible avec les « compétences opératoires » actuelles. Pour information, consultez une série de problèmes d'un manuel d'arithmétique de CM1 / CM2 des années 1900 à 1950 et comparez avec le niveau actuel des problèmes, non pas de CM, mais de sixième ou de cinquième.
 

d) Pour la bonne bouche

Relisons les compétences exigibles en sixième sur les techniques opératoires :
« Addition, soustraction et multiplication : savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul (mental, à la main, calculatrice) dans des situations n'exigeant pas de virtuosité technique »
Passons sur la virtuosité – en pensant , voir plus bas, que les exigences des programmes actuels sont de la pure « virtuosité » par rapport aux futurs programmes comme les programmes des années 50 par rapport au programme de 96 – , mais peut-on me dire ce que signifie en tant que compétence particulière « savoir faire une addition à la calculatrice » ?
Le plus intéressant est que l'ensemble de ces textes publics depuis 96 n'a attiré aucune critique de la part ni des syndicats, ni des fédérations de parents d'élèves, ni des partis politiques quels qu'ils soient. Y aurait-il quelque part, y compris dans les média, un ou plusieurs lobbies assez puissants ?
Non seulement personne n'a fait beaucoup de tapage sur les programmes mais le SNES, en la personne de Monique Vuaillat dans Le Monde du 17 Septembre 1999, en rajoute en reprenant l'antienne :

"... les programmes sous-estiment encore beaucoup trop les impératifs de compréhension, de réflexion, de curiosité et d'esprit critique, ils négligent les activités interdisciplinaires. Il faut les développer et réduire le temps consacré à la répétition et à la mémorisation."

Je dis quelques lignes plus haut que les textes publics que je présente n'ont ni attiré l'attention des syndicats, ni des parents d'élèves, ni des média : il est encore plus grave qu'il n'ait pas attiré l'attention des mathématiciens professionnels ce qui peut signifier plusieurs choses :

- soit ils approuvent .Le corporatisme de la corporation a peut-être fait que les qualités mathématiques de Dieudonné ont servi de prétexte pour ne pas attaquer ses positions pédagogiques – "A bas Euclide" – qui ont eu un effet social cependant non négligeable. Il faut dire que le corporatisme de matière dit toujours que sa matière est LA matière principale : et le fait que les psychologues type Piaget, les sociologues type Levi-Strauss, les philosophes type Althusser, les psychiatres type Lacan, les économistes à la Debreu plaçant la structure bourbachique au centre du monde, flattait ce corporatisme, ce qui favorisait la promotion sociale avec, en plus, une justification "de gauche" voire même "révolutionnaire".

- soit ils s'en foutent (ce qui n'empêche pas des appréciations sur le "niveau des étudiants en sciences qui baisse" : il faudrait alors se poser des questions sur l'amont)

En tout cas, ne s'est manifestée aucune tendance organisée pour dénoncer ces faits.
 

e) L'avenir : BO Spécial N° 7 d’Août 1999

a) Dans les futurs programmes du primaire, on réduit encore les compétences exigibles dans la division manuelle « en restant dans le champ de la table de multiplication liée au diviseur (si on divise par 6, le dividende ne dépassera pas 60) ». Sans commentaire. Il y une logique avec les nouveaux programmes de seconde qui font réapparaître la décomposition en facteurs premiers mais la limite à « des exemples du type 56 x 67 où la table de multiplication suffit » (!!!).

Or, si la table de multiplication a une utilité – et c'est la raison de son existence – c'est justement là où elle « ne suffit pas », car l'apprentissage de la table de multiplication (jusqu'à 9 fois) ne sert en soi à rien si ce n'est à décomposer la technique des multiplications et des divisions en multiplications et divisions à UN chiffre. Et si on n'utilise plus la table de multiplication pour faire ce pourquoi elle a été conçue – et on est déjà bien parti dans la lutte contre la "virtuosité" –, on transforme l'apprentissage de la table de multiplication – pourtant encore demandée mais avec peu d'insistance – en mission impossible à contenu formel. A son tour, la non connaissance de la table de multiplication entraîne des difficultés dans la pratique des opérations, etc. Et la réforme suivante interdira l'apprentissage "par coeur" de la table de multiplication qu'elle présentera définitivement comme un "automathisme" honni par principe, ce qui sera effectivement vrai puisqu'il n'a déjà plus de sens puisque l'on n'apprend la table de multiplication pour ne plus s'en servir où pour s'en servir là où elle est inutile. Une fois de plus les contempteurs du "dressage" lorsqu'il ne s'agit pas d'un dressage et qu'il est utile peuvent être les défenseurs d'un véritable dressage.

b) Il est important de contrer les arguments habituellement employés pour justifier les réformes successives ; elles sont toutes basées sur "l'évaluation du niveau" et l'affirmation que "Le niveau monte", titre de l'opuscule de Baudelot et Establet. Il n'est bien sûr pas question ICI de reprendre un par un les arguments des deux compères mais simplement de remettre en place quelques principes de fond. Il est bien sûr évident que plus on avance dans le cursus des études, plus celles-ci deviennent spécialisées et proches de l'état technique de la société : il est donc d'autant plus impossible – c'est à dire qu'elle n'a aucun sens – de faire une étude comparative des connaissance scolaires. Baudelot et Establet ne s'en privent pas et arrivent à montrer que le niveau monte : passons et passons en plus sur la confusion entretenue sur le "niveau" moyen qui représente en quelque sorte la capacité collective d'une génération et le niveau des individus pris individuellement, chacun étant "intéressé à sa propre réussite". Lorsque l'on pose des questions qui ne vont pas dans le bon sens, la réponse arrive vite : "Vous comparez deux choses incomparables puisque vous comparez le niveau des compétences exigibles en sixième en 1960 et maintenant alors que, en soixante, seul 10 ou 20 % d'une classe d'âge passait en sixième. Votre manière de poser la question est donc à priori entachée d'élitisme, réactionnaire..." Passons sur le fait que ce sont ceux qui défendent plus ou moins les thèses du "niveau qui monte" qui prétendent à leur tour que l'on ne peut pas comparer le niveau et prenons justement un exemple où l'on peut les comparer : outre le fait que les progressions des années 20 prévoyaient de faire des divisions simples dès le CE1, je tiens à la disposition de ceux qui veulent le vérifier mes propres cahiers de CP. On y observe que les quatre opérations y sont enseignées au fur et à mesure de l'apprentissage de la numération jusqu'à 100. Dès la leçon sur la numération portant sur 60, on trouve le Vendredi 13 Avril 1956 le problème suivant "Nous avons partagé 8 cahiers, 12 buvards et 16 plumes entre 5 petites filles. Nous avons pu donner à chacun...". Suivent les trois divisions posées dans la disposition classique mais avec les soustractions posées. L'argument classique des SDE est de dire, lorsque que l'on cite un tel exemple qui les gênent, qu'il devait s'agir d'une école privée, élitiste ou favorisée : il est un peu triste pour eux de constater, qu'en la circonstance, j'étais élève de l'école primaire publique des Chapélies (Brive 19) et que le quartier portant ce nom était probablement le plus défavorisé de la ville puisqu'il avait servi de zone de parcage pour les différentes immigrations, y compris comme intermédiaire entre les républicains espagnols avant guerre et les "arabes" dans les années 50, l'internement des "collabos" à la fin de la guerre. Ce qui signifie de toutes façons, que le niveau requis pour le CM2 de l'an 2000 varie entre le niveau CP et le niveau CE des années 50 dans une "ZEP".

Arrivé à ce niveau, les SDE & Co ont un avant-dernier argument : "Le fait que la division ait été au programme de CE ne signifie pas que tous les élèves savaient les faire". Sans répondre sur le fond – qui suppose une discussion serrée sur la critique de la "sélection", phénomène bien réel mais dont l'effet social est indubitablement moins nocif que l'abrutissement pédagogique prôné par ceux qui mettent en avant le "refus de la sélection" pour faire passer leurs sauces –, on pourrait répondre par une question : Faut-il poursuivre le raisonnement jusqu'au bout et ne mettre au programme que ce qui est compris par tout le monde, en comprenant bien que le non-sens que je viens d'écrire n'est que la conséquence du non-sens fondamental de ceux qui avancent ce type d'argument ?

Quant au dernier argument des SDE poussées à bout, il s'appuie sur les élucubrations "scientifiques"de la psychologie : la compréhension de la division ne serait accessible qu'à partir d'un âge avancé dont la limite inférieure serait, de toutes façons, supérieure à l'âge d'entrée en sixième et peut être même supérieure à l'âge de sortie du collège : il faudrait alors être logique et interdire non seulement la pratique des divisions mais, "en préservant le sens de l'opération" comme se contente de le faire l'inspection, supprimer du primaire et du collège tout ce qui comporte la compréhension du sens de cette opération : on aboutirait à un allégement spectaculaire des programmes qui atteindrait non seulement les mathématiques mais aussi la physique, la chimie, la technologie, l'histoire-géographie, etc. et même le calcul de la fameuse moyenne et de l'encore plus fameuse "moyenne générale".

Une position plus sage consisterait peut-être au contraire à dire que si les "apprentissages fondamentaux" ne sont pas globalement acquis avant un certain âge, leur acquisition devient d'autant plus difficile et même quasiment impossible. Dire que l'apprentissage de la marche ne peut se faire qu'après dix ans – ou que l'on doit comprendre comment on marche avant d'apprendre à marcher – aboutit à produire des infirmes moteurs. Le refus de l'apprentissage des automatismes présentés comme des "automatismes"au nom du sens est bien en train d'aboutir pratiquement à la production d'infimes mentaux mais dans une forme aggravée car, pour faire référence à un titre récent, "l'enseignement de l'ignorance" ne se limite pas à ne rien apprendre, ce qui laisserait l'esprit de l'enfant libre, mais à apprendre une collection hétéroclite de savoir-machins (savoir-faire, savoir-être, etc.) et de procédures-algorithmes qui encombrent non seulement l'esprit sans lui permettre de maîtriser sa propre pensée, mais en s'opposant à cette maîtrise. Et l'"apprendre à apprendre" devient ainsi la soumission à l'incapacité d'apprendre. Pour se mettre au niveau des "psychologues scientifiques" qui ne peuvent penser l'intelligence humaine qu'au travers du parallèle mécaniste avec l'ordinateur, on peut dire que l'être humain "apprenant à apprendre" fonctionne alors comme Windows (ou le moteur à essence) , il consomme la plus grande partie de son énergie à contrer son propre fonctionnement. Mais si cet état de fait existe, c'est que tout le monde n'y perd pas : l'économie de rente est la gagnante depuis les "Seven Sisters" en passant par Microsoft pour arriver aux monopoles de l'édition et pour en finir avec les rentes de situation, bien maigrichonnes par rapport aux premiers exemples, des enseignants qui ont accepté d'adopter un profil bas par rapport aux SDE, ce qui leur vaut quelques aménagements allant de décharges de cours à des fonctions plus honorifiques et rémunérées.
 
 

2) L'arithmétique :

Une des bases de l'arithmétique est la constatation de l'existence des nombres premiers. Dans les années 70, au moment où l'arithmétique (nombres premiers, PGCD, PPCM) était au programme de cinquième, on n'avait pas à expliquer et à démontrer qu'il existait des nombres premiers, il suffisait de faire constater leur existence : on savait que 37, 47 "n'étaient pas dans les tables" et une recherche rapide – pour celui qui sait calculer mentalement – montrait que 37 n'était multiple d'aucun nombre inférieur à 37 et qu'il y avait donc des nombres qui étaient le résultat de la multiplication d'entiers différents de 1 et d'autres qui ne l'étaient pas. La situation a évolué lentement et l'on est arrivé à une situation ou une bonne partie de la classe se posait la question de savoir si 37 n'était pas égal à 2 ou trois fois 17, c'est-à-dire que disparaissait la base même, l'expérience sensible, qui permettait faire que la notion de nombre premier ne soit pas une notion abstraite. Ceci peut sembler étrange à tous les théoriciens de la pédagogie qui opposent la mémoire et les automatismes au sens : mais ceci est un exemple du fait qu'une connaissance "par cœur" est la base d'une connaissance théorique. De plus cette connaissance qui n'est pas rien en mathématiques puisque l'arithmétique permet – un peu comme les "cas d'égalité des triangles" passés à la trappe il y a trentaine d'années – de poser des problèmes de difficulté graduée allant du plus simple au plus compliqué.
En fait, ceci n'est étrange que pour ceux qui croient que la compréhension n'est basée que sur la manipulation d'abstractions. Je m'en étais ouvert dans ces années-là dans une réunion pédagogique : on m'avait répondu à côté de la plaque en me disant que je devais faire construire, avec des petits carrés, des rectangles d'aire 37 petits carrés. Comme j'argumentais en disant que, si l'exercice proposé était une intéressante visualisation géométrique d'une propriété arithmétique que j'avais toujours pratiqué, cela ne résolvait pas le problème qui était beaucoup plus simple si les élèves connaissaient bien leurs tables, on me répondit que je défendais les "automaths". La réaction est arrivée quelques années plus tard : suppression des programmes des collèges et du lycée de TOUTE l'arithmétique, y compris en première S : je rappelle que l'arithmétique, PPCM et PGCD compris, faisaient partie du programme de Fin d'études depuis à peu-près un siècle.
Ceci avait à son tour un grand nombre de conséquences dont l'impossibilité de simplifier, d'additionner et soustraire les fractions. Le programme de cinquième limita donc l'addition aux fractions dont un dénominateur était multiple de l'autre (ce qui correspond aux exigences des progressions de CM depuis un siècle). Dans les cas « plus compliqués » et à partir de la quatrième, il fallait écrire les suites des multiples des deux dénominateurs afin de trouver le PPCM : initiative démentielle mais recommandée officiellement qui obligeait, si les dénominateurs étaient des nombres « aussi grands » que 66 et 70 , à écrire au moins 35 multiples de 66 et 33 multiples de 70 pour arriver à trouver de manière complètement empirique – mais longue et ne donnant aucun « sens » – le PPCM qui a le tort, dans ce cas-là, de valoir 2310.

Voila le travail demandé à l'élève – dont on peut mesurer le "sens" car ce sont les défenseurs du sens qui ont recommandé ça – :

Calculer les multiples de 66 et 70 jusqu'à ce qu'on en trouve un en commun

Multiples de 66 : 132 ; 198 ; 264 ; 330 ; 396 ; 462 ; 528 ; 594 ; 660 ; 726 ; 792 ; 858 ; 924 ; 990 ; 1056 ; 1122 ;1188 ; 1254 ; 1320 ; 1386 ; 1452 ; 1518 ; 1584 ; 1650 ; 1716 ; 1782 ; 1848 ; 1914 ; 1980 ; 2046 ; 2112 ; 2178 ; 2244 ; 2310 ; 2376 ;

Multiples de 70 : 140 ; 210 ; 280 ; 350 ; 420 ; 490 ; 560 ; 630 ; 700 ; 770 ; 840 ; 910 ; 980 ; 1050 ;1120 ; 1190 ; 1260 ; 1330 ; 1400 ; 1470 ; 1540 ; 1610 ; 1680 ; 1750 ; 1820 ; 1890 ; 1960 ; 2030 ; 2100 ; 2170 ; 2240 ; 2310 ; 2380 ; 2450 ; 2520 ;

Les deux listes doivent être entièrement recopiées à la main car, une fois que l'on a trouvé le multiple commun, il faut se rappeler que
2310 = 35 x 66 et 2310 = 33 x 70
ce qui donne 1/66 + 1/70 = ( 33 + 35 ) / 2310 = 68 / 2310 = 34 / 1155

La méthode classique, au programme de fin d'études – ceux qui n'allaient pas au lycée ou qui n'avaient pas eu leur certif et attendaient pour y être présentés – est :
66 = 2 x 3 x 11 et 70 = 2 x 5 x 7 donc le dénominateur commun est 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Des esprits qui ne veulent absolument pas comprendre ce que je veux dire pourraient me rétorquer que l'élève peut appliquer la formule :
a / b + c/ d = ( ad + bc) / bd qui "marche toujours". Ce qui donne : ( 66 + 70) / (66 x 70) = 136 / 4620 qui, dans ce cas là se simplifie assez rapidement, car je n'ai pas pris comme exemple 53 / 66 + 47 / 70.

Je répondrais tout d'abord que l'élève qui ne connaît pas les nombres premiers ne sait justement pas, avant de faire le calcul, quelle est la méthode la plus rapide.
Ce à quoi on pourrait me rétorquer plaisamment

1) qu'il ne faut pas poser ce type de questions car ce n'est pas au programme
2) qu'il peut le faire à la calculatrice

A l'argument 2) je répondrais avec plus de discernement : l'affirmation qu'il suffit d'apprendre la réduction au même dénominateur ou les opérations pour les petits nombres – qui suffisent à assurer la compréhension du sens – repose sur l'idée qu'il n'y a pas de différence de "qualité" entre les petits nombres et les grands nombres du point de vue des quatre opérations. Or ceci est faux. Et justifie un paragraphe à lui tout seul. donc :

3) Arithmétique et opérations – Limite localiste des SDE, de la didactique

a) Arithmétique et opérations

Cette affirmation est globalement vraie pour l'addition car, dès que l'on a 1 et l'addition, on peut obtenir tous les nombres entiers (ça pose quand même déjà un certain nombres de problèmes puisque c'est à partir de là que l'on obtient le théorème de Gödel).C'est d'ailleurs la perception de la suite des nombres qui semble être majoritairement derrière les théorisations mathématiques en pédagogie depuis une cinquantaine d'années : ce n'est pas étonnant car il s'agit mot pour mot de la construction axiomatique de l'ensemble des entiers naturels ou, une fois que l'on a construit zéro, on s'arrange pour construire 1 et, à partir de là, le tour est joué, on a toute la suite des nombres. Rien ne prouve – et on peut même prouver le contraire – qu'il ne s'agisse pas d'une construction, certes moderne, mais marquant une régression vers une forme de pensée médiévale et métaphysique dont on sait de toutes façons qu'elle va à l'encontre du développement historique puisque le zéro a été le dernier chiffre à être inventé et, si le nombre zéro a été pensé avant l'invention du chiffre, il n'a jamais été historiquement l'origine de la construction de la suite des nombres entiers.
Au sens de l'addition, chaque nombre entier est donc bien exclusivement le successeur de son précédent que l'on obtient en lui ajoutant l'unité qui vaut 1 : dans cette vision 32 pommes veut dire 31 pommes +1 pomme et la suite des nombres entiers s'égrène de manière monotone et, si l'on a compris le mécanisme et son application au début, il n'y a pas de changement et on arrive tranquillement jusqu'à l'infini – ça s'appelle même le principe de récurrence et c'est totalement compatible avec les maths modernes... mais un peu vide de sens même si ça a l'avantage du procédé mécanique uniforme et de "l'économie de pensée" qui permet de partir de rien pour arriver à tout... ou nulle part – : nous avons défini le domaine et le type de perception de la numération ou les grands nombres se comportent comme les petits nombres.

La multiplication est certes construite à partir de l'addition comme une addition qui se répète mais

- d'une part, ceci n'est plus vrai dans les progressions actuelles, où – dans le cas ou l'on ne demande pas à l'élève de deviner ce qu'est la multiplication – elle est plutôt construite en général comme une décalque du cardinal du produit cartésien, en le disant en toutes lettres il y a 20 ans et en ne prononçant plus les mots maintenant, ce qui est bien une caractéristique de la critique formaliste du formalisme puisqu'elle elle critique la forme sans s'attaquer au sens.

- d'autre part, la répétition en elle-même introduit une modification qualitative de la perception de suite des nombres entiers par rapport à la multiplication : ils ne se suivent plus car une fois que l'on a un nombre entier et la multiplication, on n'obtient, même en utilisant tous les autres nombres entiers et pas seulement 1 comme pour l'addition, seulement les multiples de ce nombre, ce qui fait qu'il y a de gros trous. En fait, si l'on envisage les multiples de n, on n'obtient que 1 nombre sur n nombres ce qui fait que l'on a (n-1) fois plus de nombres qui manquent que de nombres que l'on atteint. Exemple : si l'on considère les multiples de 4 de 8 à 19, on atteint 3 nombres (8, 12, 16) et, pour aller jusqu'à 19, il en manque 9 : (9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19), c'est-à-dire que l'on rate 3 (c'est-à-dire 4 - 1) fois plus de nombres que l'on en atteint.
Reprenons le problèmes des 31 et 32 pommes et cherchons quels peuvent être les successeurs de 31 et 32 : l'idée est d'essayer de revenir à l'unité qui se cache derrière le nombre car nous pensons toujours une grandeur à partir d'une unité (c'est un rapport de grandeurs de même espèce si ce n'est de même nature) et la mesure de cette quantité est le nombre d'unités que contient cette grandeur. Si une grandeur G a pour mesure m dans l'unité u, on écrit, dans tous les systèmes de mesure au choix :
G = m u ou G = m x 1u . Si une longueur L mesure 5 m, on écrit L = 5 m ou L = 5 x (1m) ce qui fait que la mesure d'une grandeur sous-entend toujours une multiplication. Ainsi lorsque je vais essayer de rapporter les nombres 31 et 32 à une unité, il est naturel que j'envisage de m'intéresser à la multiplication.

Pour 32 pommes, je peux penser au choix qu'elles sont réparties dans des paniers de différentes tailles c'est-à-dire :
1 panier de 32 pommes (32 = 1 x 32)
2 paniers de 16 pommes (32 = 2 x 16)
4 paniers de 8 pommes (32 = 4 x 8)
8 paniers de 4 pommes (32 = 8 x 4)
16 poches de 2 pommes (32 = 16 x 2)
32 pommes en tas, la pomme étant l'unité de compte (32 = 32 x 1)

Et, suivant ce que j'envisage, le successeur de 32, avec une unité de mesure en plus (c'est-à-dire un panier, une poche ou un pomme en plus selon les cas) sera :
64 = 2 x 32
48 = 3 x 16
40 = 5 x 8
36 = 9 x 4
34 = 17 x 2
33 = 33 x 1

Une remarque double

- pour ceux qui suivent les débats sur la liste math collège, voila un (c'est-à-dire qu'il y en a au moins un autre type) exemple de la fameuse multiplication non commutative car ce n'est pas la même chose d'avoir 4 paniers de 8 pommes et 8 paniers de 4 pommes car, dans le deuxième cas, on a le même nombre de pommes mais on a 4 paniers de plus. Ce qui suffirait à expliquer que ce n'est pas obligatoirement la même chose pour un enfant en train d'apprendre la multiplication, à part en maths même pas modernes mais simplement "pures" où on parle effectivement de paniers dans les problèmes mais ces paniers n'existent pas dans la perception du mathématicien ou de l'enseignant bien qu'il en ait parlé.

- il est normal que l'on retrouve 33 dans les successeurs de 32 par rapport à la multiplication, c'est-à-dire que l'on retrouve le successeur de 32 dans l'addition, car la multiplication est aussi une addition mais elle est aussi autre chose et beaucoup plus.

Passons maintenant à 31 :
Là, on n'a plus que deux possibilités 31= 31 x 1 ou 31 = 1 x 31 et les successeurs possible sont :
62 = 2 x31 et 32 = 32 x 1
Si l'on avait 30 pommes, on a 8 possibilités (30 = 1 x 30, 30 = 2 x 15, 30 = 3 x 10, 30 = 5 x 6, 30 = 6 x 5, 30 = 10 x 3, 30 = 15 x 2, 30 = 30 x 1) qui donnent comme successeurs de 30 : 60, 45, 40, 36, 35, 33, 32, 31

Je ne vais pas continuer mais voila un tableau (Tableau 1) qui donne le nombre de successeurs possibles des nombres entiers de 2 à 32 si l'on se réfère à l'addition (ligne / +) ou à la multiplication (ligne / x):
 
 

On va même modifier ces deux tableaux en enlevant des successeurs de la multiplication celui qui correspond, à chaque fois, au successeur de ce nombre par rapport à l'addition (c'est-à-dire que pour 32, on va enlever 33 des successeurs de la multiplication car 33 est déjà compté comme successeur de l'addition), ce qui donne :

Si l'on considère le nombre de successeurs d'un nombre par rapport à la multiplication (dans le tableau 1, c'est en fait le nombre des diviseurs exacts de ce nombre), on s'aperçoit que l'on ne peut pas dire que tout se passe uniformément comme sur la ligne de l'addition et qu'il n' y aucune raison de dire que faire des opérations sur des petits nombres suffît à comprendre les résultats des opérations sur des nombres plus grands. Si l'on regarde maintenant le tableau 2, on peut même formuler les choses de manière plus claire : pour n'importe quel nombre n, le nombre du bas sur ligne /x – appelons le m – indique maintenant que le nombre n a m fois plus de successeurs par rapport à la multiplication que par rapport à l'addition : le 5 dans la colonne du 20 indique que 20 à 5 fois plus de successeurs pour la multiplication (lorsque l'on a enlevé 21) qu'il en a pour l'addition. On voit ainsi beaucoup mieux l'irrégularité de la distribution des successeurs des entiers strictement pour la multiplication : 29 en a 1 (30 exclu), 30 en a 7 (312 exclu), 31 en a à nouveau 1 et 32 en a 5 (33 exclu). Si l'on continuait, on trouverait des écarts plus grands pour deux nombres successifs au sens de l'addition, mais immédiatement suivis ou précédés d'écarts faibles :
- 72 a 11 fois plus de successeurs multiplicatifs qu'additif tandis que 73 en a le même nombre
- 359 a autant de successeurs additifs que multiplicatifs tandis que 360 en 23 fois plus et on retombe à un rapport de 2 pour 361.

Tout ceci pour dire qu'il est absolument faux de prétendre (à part pour l'addition et la soustraction) que les opérations se comportent de la même manière pour les petits nombres et les grands nombres (Il aurait aussi été possible de prendre un tableau montrant l'irrégularité de l'indicateur d'Euler).
C'est d'autant plus faux que si c'est faux en général, il peut y avoir des cas particuliers où c'est vrai : dans le problème évoqué, 2 a la même propriété que 359 tandis que 3, qui a la même propriété que 2 n'a rien à voir de ce point de vue avec 360. Les concepteurs des programmes du primaire trouvent au contraire qu'il suffit de savoir faire les opérations sur les petits nombres pour savoir les faire (avec le "sens") sur les grands et prétendent même que l'on peut à la rigueur faire des additions et des soustractions (pour lesquels il y a effectivement une similitude sur les grands et les petits nombres) mais qu'il faut moins faire de multiplications et surtout pas de division pour comprendre le sens de ces opérations. Je sais que, par rapport au fameux B.O. sur le primaire, je fais un glissement de sens de la "pratique de l'opération" vers le "sens de l'opération" mais, et je les préviens et c'est chevaleresque de ma part, il s'agit d'une chausse-trappe dans laquelle ils tomberont s'ils répliquent.

Les matheux auront reconnu dans ces tableaux le fait que les nombres qui ont 1 sur la dernière ligne sont les nombres premiers, c'est-à-dire ceux qui jouent le rôle d'unités génératrices de l'ensemble des nombres par rapport à la multiplication, rôle que 1 est seul à jouer en tant qu'unité génératrice pour l'addition (et ils ont, dans le problème posé, et c'est normal, un seul successeur pour l'addition et pour la multiplication). Il est également à remarquer que la démonstrations du théorème de Gödel, si elle s'appuie au début sur la construction de l'arithmétique formelle (axiomatique ZF ce qui n'est pas un bon début) finit justement en associant à tout théorème de la théorie un nombre premier et finit par découvrir à partir de cela une contradiction : pour les amateurs, il existe une démonstration accessible mais assez dure dans Alain Badiou (Le concept de modèle – Coll. "Philosophie pour les scientifiques" Maspero 1970) et une plus facile dans "Jeux avec l'infini" de Rosza Péter (Coll. Points Sciences : Chapitre "Ce dont les mathématiques ne sont pas capables")

Pour contrer les matheux purs (qui peuvent être des matheux modernes mais pas seulement ceux là) et qui pensent depuis un bon moment que je viens de faire une fausse découverte puisqu'il s'agit des nombres premiers (ce sont des gens qui sont entièrement satisfaits et repus lorsqu'ils sont arrivés à mettre un concept mathématique sur une situation un peu comme le malade qui croit qu'il va être guéri parce qu'il connait le nom de sa maladie), je vais poursuivre sur un sujet qu'ils ne maîtrisent pas du tout ou plutôt qu'ils croient maîtriser car ils en maîtrisent – d'ailleurs probablement mieux que moi – la substance mathématique...

Ainsi la belle régularité de l'arithmétique additive (Péter Rosza dit plus précisément " la grise suite numérique") disparaît pour faire place, avec la multiplication et la division à une structure beaucoup plus complexe (Péter Rosza parle d'introduction de la couleur dans la grise suite numérique) qui est basée sur l'existence des nombres premiers, qui s'appelait l'arithmétique et que les différents concepteurs des programmes ont décidé d'enlever de l'enseignement de ce qui correspondait au primaire (c'est-à-dire CM2, FE1 et FE2 pour l'ancienne école et cinquième pour les lycées-collèges). Ceci a quelques conséquences que nous avons vu ( ddition des fractions), cela ne permet plus d'expliquer pourquoi 97 a été choisi pour le code-clé du Numéro INSEE, ni la structure de l 'ordre des décimales dans le quotient d'une division – tiens, une opération ! – qui ne tombe pas juste : mais il y a les calculettes – justement une calculette ne permets pas de savoir si une division "tombe juste" – et ce type de calcul n'a aucune importance pour faire des bilans d'entreprise, des statistiques, y compris celles foireuses des gestionnaires et celles de Baudelot pour montrer que le niveau monte. Donc tout va bien.

Rappelons cependant que l'ensemble du cours de maths primaire s'appelait arithmétique qui contenait toutes les bases de l'arithmétique au sens strict : les apprentis sorciers de la pédagogie ont décidé tout d'abord de séparer l'arithmétique au sens strict de l'arithmétique au sens large (ce qui revenait à séparer les opérations et l'arithmétique) puis de supprimer l'arithmétique au sens strict : ça fait un morceau en moins. Et au même moment, ils se sont brutalement mis à parler du sens des opérations comme si les deux phénomènes étaient indépendants, ce qui est bien une des caractéristiques de la pensée moderne qui est incapable de penser la liaison entre les phénomènes (à part en remplaçant la liaison réelle par un formalisme mathématique – or une liaison entre deux entités mathématiques peut être pensée sous diférents angles mathématiques –, par la "causalité statistique" et /ou par le bilan financier).
S'ils avaient simplement su lire le français (mais ce sont peut-être des émules de Foucambert/Bentolila, c'est-à-dire des lecteurs rapides), ils auraient remarqué qu'une part importante du sens de la division et de la multiplication (en se plaçant du point de vue interne aux mathématiques) devait être dans l'étude des propriétés des multiples – multiples est de la famille de multiplication : remarque destinée aux "lecteurs rapides" – et des diviseurs – même remarque – qui est justement la base de l'arithmétique au lieu de le chercher on ne sait où (et plus précisément dans le fonctionnement d'un algorithme ou même de la famille des algorithmes correspondant à cette opération)

Ils auraient également remarqué que l'on ne peut enlever d'un édifice dont on ne comprends pas le fonctionnement un morceau sans penser que cela n'aura aucune influence sur le reste de l'édifice. Ils n'ont pas pu également – dominés par une pensée atomisée – penser que ( omme je l'ai dit en introduction, je ne me place ici qu'au point de vue interne aux mathématiques lorsque j'emploie le mot sens)
 

1) si les nombres ont un sens, c'est par rapport aux autres nombres et que ce rapport aux autres nombres est réalisé par les opérations : ceci a une conséquence immédiate : il faut apprendre les 4 opérations au fur et à mesure de l'apprentissage de la numération de 20 (ou 11) jusqu'à 100 car c'est à ce moment là que doit se mettre en place simultanément – si l'on ne veut pas produire chez les élèves une pensée aussi atomisée que celle des théoriciens de la pédagogie moderniste – et la numération et les capacités opératoires
 

2) que ce sont les opérations qui donnent un sens aux nombres
 

3) que le sens d'une opération est défini, non par la pratique d'une opération en elle-même, mais par la pratique des liaisons entre les opérations (ce n'est pas la distributivité !). Ceci est vrai du point de vue interne à la division (car la pratique de la division suppose la maîtrise des autres opérations en ce qu'elle intègre en elle-même le sens des autres opérations) mais aussi du pont de vue externe : on ne peut commencer à vraiment comprendre la multiplication et la division dans leur rapports avec "l'introduction de la couleur dans la grise suite numérique" que si l'on étudie simultanément les multiples et les diviseurs de plusieurs nombres entiers car c'est là seulement que l'on voit l'irrégularité de la suite numérique des entiers. D'ou l'importance de l'apprentissage précoce et des fractions et de l'arithmétique (dès le CM2) comme couronnement de l'apprentissage des formes de base du calcul.

 La logique de morcellement et de perte de sens continue son chemin, la pratique des opérations perd son sens au moment où l'on supprime du primaire les nombres premiers. Il ne reste plus qu'à supprimer toute pratique des opérations et tout apprentissage des nombres premiers en prétendant, ce qui est vrai, que les calculettes sont suffisamment performantes pour le faire. Toutes les têtes pensantes de la pédagogie ont apporté leur petite pierre... à la destruction de l'édifice, y compris Sylvie Gasquet qui se présente comme opposée aux défauts du système éducatif en mathématiques.

Dans le chapitre "Et les calculatrices?", à la question :
 

"Faut-il apprendre à diviser", elle répond : "Tout dépend par quoi ! [Ce point d'exclamation est d'elle. J'en rajoute personnellement seulement trois par bienveillance: !!!]

Je vous ai déjà dit que je ne vois plus l'intérêt d'apprendre à diviser exactement par 28 ou 385 !

[Ce point d'exclamation supplémentaire voulait-il faire remarquer habilement que 28 =4 x 7 tandis que 385 = 55 x 7 et qu'il y a donc un rapport entre la suite des restes que l'on obtient en effectuant une division par 28 et celle que l'on obtient en faisant une division par 385 ? Serait-ce une finesse à la Ramanujan qui savait calculer, lui ?]

La technique de la division par un nombre à un chiffre me parait suffire pour saisir le principe du mécanisme.

[Le seul mode de division qui réduit la division à un "mécanisme" qui plus est invisible est l'utilisation de la calculette]

La parfaite maîtrise de la technique de division est très coûteuse en temps

[Air connu : est-elle l'auteur des paroles ou le fredonne-t-elle parce qu'il est à la mode ? Tout le temps gagné en primaire à ne pas apprendre les opérations est du temps perdu pour tout le reste de la vie des élèves]

Ne vaudrait-il pas mieux l'avoir vu fonctionner "au ralenti", avec un petit diviseur,

[1 par exemple ? Le problème est justement qu'il ne fonctionne pas de la même manière pour tous les diviseurs, sauf dans le fonctionnement physique d'une calculette, c'est-à-dire en gros le calcul approché, auquel on réduit ici les "compétences souhaitées" de l'élève.
D'autre part, et c'est une question trés sèrieuse que je pose partout et à laquelle personne – surtout pas ceux qui emploient l'expression –  ne réponds :
Qu'est ce qu'un grand nombre ? Qu'est-ce qu'un petit nombre?]

histoire de ne pas pianoter idiot sur sa calculatrice, pour avoir plus temps à passer sur l'environnement de la division"

[Chez moi et je n'ai pas beaucoup d'alliés dans le présent mais j'en ai des tonnes dans le passé et encore plus dans l'avenir, "l'environnement de la division"??? le plus immédiat s'appelle la théorie de la divisibilité. Il est remarquable que la position de S. Gasquet – ainsi que celle de beaucoup d'autres – n'ait un peu de sens que si on réduit la division à la recherche de l'approximation du quotient exact : il reste à voir ce que ce type de préoccupation privilégie comme activité dans les "maths vivantes" et, également, quels types d'activité sont ainsi "spontanément" délaissés]

In "L'illusion mathématique : le malentendu des maths scolaires" Ed. Syros page 189.
 

 Je rappelle une fois de plus que c'est le titre sous lequel s'est avancée la réforme des maths modernes et que la négation formaliste – c'est-à-dire par les partisans des maths modernes eux-mêmes – ne pouvait être que la négation de la forme – c'est-à-dire supprimer les ensembles etc... – pour conserver le fond, c'est-à-dire que l'on peut observer partout la continuité aggravée entre les maths modernes et les réformes qui l'ont suivi.
S. Gasquet n'est pas la seule, malheureusement, à pouvoir reprendre, mot pour mot, dans sa défense des mathématiques vivantes les paroles de Stone, lors du colloque de Royaumont :

« Si nous voulons que nos étudiants poursuivent leurs études avec assiduité et dynamisme, et si nous voulons leur présenter les mathématiques sous leur aspect le plus vivant et le plus stimulant, nous sommes tenus d'éliminer de l'enseignement les notions qui, fussent-elles consacrées par la tradition, sont devenues lettre morte et ont perdu leur utilité, leur actualité ou leur importance »
( En 1959, rappelons-le)

Comprendre cet aspect est fondamental car les mathématiques sont en quelque sorte un modèle de ce qui attends l'autre partie des "fondamentaux" : la lecture et surtout l'écriture. En effet, la logique qui part de théories pédagogiques minimisant l'importance du calcul produit une baisse des capacités qui pousse à l'introduction des machines qui automatisent celui-ci. Toutes les théories qui minimisent l'importance de la lecture (en mettant en avant l'image et l'oral par exemple ) ou qui défendent une conception de la lecture qui en empêchent un apprentissage efficient (Smith, Foucambert, Bentolila) sont déjà en place depuis de nombreuses années avec leurs effets : la nouveauté est que les plans actuels prévoient que le traitement de texte – accompagnés de la reconnaissance vocale et des correcteurs orthographiques et grammaticaux – va être introduit dès le CE1 : c'est-à-dire que l'automatisation de l'écriture (et de la lecture) va être introduite au moment de son apprentissage. Or, il est impossible justement d'apprendre une activité quelconque en utilisant l'outil qui automatise cette activité, ceci étant d'autant plus vrai pour l'apprentissage des activités fondamentales qui permettent justement la pratique de toutes les autres activités. Il est tout à fait possible d'utiliser l'informatique (Internet compris) à l'école, mais la forme quasi-hégémonique sous laquelle se présente cette utilisation ne pourra aboutir qu'a une baisse des compétences de la majorité des élèves : ceci aura de toutes façons l'avantage de donner du travail aux émules de M. Baudelot qui est chargé de montrer que le « niveau monte ».

Car la majorité des outils informatiques ne font, comme la calculette pour le calcul, que automatiser / mécaniser des processus manuels et intellectuels. Je me limiterai à un seul exemple : les logiciels de construction géométrique et la notion de perpendiculaire. Actuellement, dans mon collège, si l'on demande à un élève entrant en sixième, de tracer une perpendiculaire à une droite D donnée passant par un point donné extérieur à cette droite, une bonne minorité (de toutes façons au moins 30%) trace une oblique faisant un angle de moins de 80° avec D – c'est-à-dire que j'exclue ceux qui confondent perpendiculaire et parallèle et ceux qui n'ont pas exactement placé leur équerre : il y donc a peu prés 30 % des élèves qui n'ont pas « dans l’œil » ce qu'est un angle droit. Utilisons maintenant un logiciel de dessin géométrique avec menu déroulant qui propose comme item « Tracer une perpendiculaire », avec comme sous-item
- perpendiculaire à la droite (suit une boîte de choix dans lequel figure le nom de la droite figurant dans l'exercice)
- passant par le point (suit une boîte de choix dans lequel figure le nom du point figurant dans l'exercice)
Un élève qui peut dire en voyant deux droites qui font un angle de 60° qu'elles sont perpendiculaires « sait » donc dessiner deux droites perpendiculaires de la même manière qu'un élève qui, de tête, pense que 3 x 12 = 35, « sait » faire les multiplications s'il a une calculette. Il lui suffit dans les deux cas de lire l'énonce et de retrouver les mêmes mots, avec un degré minimum de compréhension.

On peut donc prévoir les futurs programmes, en parodiant le programme actuel sur la division, dès que les calculettes intégreront des fonctions de tracé – ce qui n'est pas très loin –.

Compétence exigible :
« Savoir tracer deux droites perpendiculaires dans les deux formes de dessin (avec une équerre, avec un logiciel de Géométrie) dans des conditions n'exigeant pas de virtuosité technique ».
Et dans les commentaires : on pourra reprendre mot pour mot les arguties données dans le dernier B.O. sur le primaire à propos des divisions : le programme maintient l'apprentissage du tracé de la perpendiculaire à l'équerre bien que « cela prenne beaucoup de temps » et que « D'autre part, même si l'élève parvient à acquérir cette technique, celle-ci est souvent vite oubliée. »
Il suffira donc, comme pour les opérations, de tolérer que le dessin soit fait « électroniquement », en considérant que, si le résultat est conforme, l'élève a le « sens de ce qu'est une perpendiculaire ». La même problématique peut s'installer à propos de l'écriture avec l'installation des traitements de texte portables à reconnaissance vocale qui sont encore un peu chers. Mais comme le disaient il y a plus de vingt ans S. NORA et Alain MINC qui ont montré qu'ils avaient raison pour le calcul « Où s'arrêtera la communication informatisée, lorsque les ménages commenceront à être équipés en ordinateurs ? La question pourrait apparaître gratuite, s'il n'y avait le précédent des calculatrices électroniques ". Et disons le, ce que les compères Nora et Minc n'avaient même pas prévu, il va y avoir les ordinateurs gratuits....

Et que le traitement de texte, ou tout autre logiciel automatisant une activité en phase d'apprentissage soit produit par Microsoft ou soit un logiciel libre (8 ) en licence GPL ne change pas grand chose à l'affaire, si ce n'est que les logiciels libres plantent moins, qu'ils peuvent être moins chers que ceux de M$ ou même gratuits et.... qu'ils seront donc plus efficaces dans l'oeuvre de décervelage.

5) Limite de la pensée localiste et parcellarisée

i) Un exemple dans l'enseignement du français

Pour développer un peu cet aspect, je prendrais un exemple non mathématique mais dans l'enseignement du Français : sous le prétexte réel que l'orthographe française avait des particularités qui ne visaient pas toutes à améliorer la compréhension – et loin de là –, la critique s'est concentrée sur la dictée qui, comme la pratique des opérations, est dénigrée et en voie de disparition. Les apprentis sorciers ont donc analysé la dictée strictement du point de vue de l'orthographe et de la grammaire et ont décidé de la supprimer : ils avant simplement oubliés que la dictée avait d'autres fonctions – qui n'étaient pas notées et ne rentraient pas dans la moyenne générale, ce qui explique en partie leur cécité – et notamment que la dictée est le seul moment ou l'élève se concentre entièrement sur ce qu'il écrit et le sens de ce qu'il écrit. la conséquence de la diminution de la fréquence des dictées, de leur longueur ; l'augmentation de la fréquence des dictées préparées qui demandent moins de concentration est simple pour les élèves : ils perdent l'habitude de la concentration, c'est-à-dire qu'ils séparent le sens de la grammaire et de l'orthographe (mais la COPREM 83 fait la même chose) et, hors la baisse de niveau générale sur les capacités de lecture que cela engendre (et que ne combattra pas Elmo qui n'est pas un logiciel d'apprentissage de la lecture mais une machine à gagner du fric mise au point par ceux qui ont travaillé à la disparition de la dictée en créant ainsi leur marché), on peut voir cette séparation par l'existence d'élèves qui ont un bon niveau en orthographe et grammaire comme matière mais qui font un nombre considérable de fautes d'orthographe et de grammaire dès qu'ils écrivent hors du contexte des devoirs – au sens fort – de grammaire et d'orthographe.Ceci a été beaucoup mieux que moi par Claude Duneton dans "A hurler le soir au fond des collèges" et en voici un extrait sur la dictée :

"Un autre des exercices ultra-classique que l'on s'est mis à négliger, sans en connaître, heureusement, la véritable portée, c'est la dictée. La dictée n'a jamais eu, contrairement à ce qu'on pense, un intérêt bien considérable pour l'apprentissage de l'orthographe... Et encore il faut distinguer entre la dictée vraiment enseignante, expliquée tout du long, et la dictée dite « de contrôle », la plus pratiquée, celle où l'on comptait les fautes à la fin, et les points – et qui ne servait à rien ! Au moins en ce qui concerne la graphie de la langue, car elle avait un rôle très important on revanche – je dis bien en revanche, car c'en est une ! –, un rôle généralement incompris et peu soupçonné : insuffler dans l'inconscient des gosses une dose de langue française qui l'alimentait d'une manière des plus subtiles et des plus efficaces, parce que détournée. Ces textes d'une dizaine de lignes, choisis la plupart du temps, dans les phrases longues de la littérature pour donner une meilleure prise à l'analyse logique qui suivait, étaient d'abord lus lentement dans une sorte d'attention sacrée, rituelle, où chaque auditeur essayait de détailler les mots et les tournures, et de se faire une première idée des difficultés à venir. On vous le faisait ensuite au détail : chaque phrase lue et relue séparément, articulée à l'extrême des possibilités et même un peu au-delà, chaque membre de la phrase soigneusement répété, cinq ou six fois, toujours dans le silence, la tension la plus recueillie, pendant que tous les mots étaient mimés par toutes les glottes, des récepteurs à porte-plume, repassaient muettement par les langues. les dents, et les voiles des palais... Ainsi jusqu'au bout, puis, da capo, on vous rechantait tout le morceau jusqu'à la signature qui était inscrite respectueusement au tableau. A la fin de la demi-heure, un être normalement constitué connaissait le texte absolument par cœur. Gratuitement et en prime. C'était mon cas, je m'en souviens très bien, quand j'étais môme ; certaines dictées me restaient plusieurs jours dans l'oreille, du moins des phrases entières. Eh bien cette cérémonie constituait une phase privilégiée de l'apprentissage de la langue : la demi-heure sacrée hebdomadaire qui valait à elle seule une semaine de méthode Assimil. C'était une technique d'assimilation involontaire d'autant plus géniale que l'attention consciente n'était justement pas portée sur la langue elle-même, mais détournée sur un objet parallèle : l'orthographe. Ça n'aurait sûrement pas marché aussi bien si l'acquisition avait été la règle du jeu – et si elle avait compté dans la sanction finale que savent mettre les pédagogues à tout ce qu'ils font. Là, c'était merveilleusement gratuit, mesdames et messieurs ! Le petit tour de cirque clandestin pour le plus grand amusement des enfants sages !... J'ai connu plusieurs témoignages d'élèves du secondaire qui m'assuraient avoir appris le français dans les dictées des classes primaires – ce qu'ils en savaient. – Là aussi ça pose le problème fondamental du choix de la langue, évidemment. Il est peut-être heureux que ces exercices qui portaient uniquement, en principe, sur l'écriture interminablement cicéronienne pour la plus grande joie des accords subtils aient provisoirement passé à l'as. "

- en partant du CE1 où il faudrait 2/3 dictées de 100 mots par semaine
- arriver au CM2 à 3 dictées de 150/200 mots par semaine
avec (du coté "recettes" si l'on veut absolument "noter")

- barème où la moitié de la note est consacrée à la qualité graphique de l'écriture (évaluation sommative) et où la deuxième moitié du barème est dans une première étape très peu sévère avec une évaluation formative basée sur les progrès de l'élève
- apprendre par coeur une dictée complète par semaine
- recopier "au propre"chaque dictée corrigée (ou au moins la moitié des dictées faites)
- tenir compte des difficultés des élèves en donnant l'orthographe des mots nouveaux qui sont reportés dans le cahier répertoire* de l'élève (une fois qu'un mot nouveau est dedans, il n'est plus nouveau et son orthographe est sanctionnée) avec dictée de mots de vérification deux fois par mois (ce coup-ci avec évaluation sommative ou soustractive). *A mon sens, le cahier-réperetoire personnel est beaucoup mieux que le dictionnaire dans une phase assez longue.

Remarque : Tout le contenu de ce texte ne vise pas des objectifs exceptionnels du type "supprimer le caractère sélectif de l'école, construire l'Ecole de l'an 2000, etc.", qui sont le plus souvent, présentés comme ils le sont, des couillonnades démagogiques, mais vise simplement à essayer de donner des bases claires pour que l'Ecole, si elle en a encore la possibilité, soit capable d'apprendre à lire, écrire, compter et calculer. La discussion, une fois ceci admis, peut se continuer sur le caractère sélectif... et l'on pourra peut-être comprendre pourquoi la reforme des maths modernes, et la suivante, qui se sont toutes les deux présentées comme visant la "démocratisation" et la "non-sélection" se sont révélées plus sélectives que ce qu'elles ont supprimé.

ii) Localisme et parcellarisation dans le temps et l'espace

Un des fondements du structuralisme est de mettre en avant justement la structure contre l'historicisme, c'est-à-dire la compréhension de la totalité du phénomène dans son déroulement dans le temps, qui seule relie la réalité considérée aux autres réalités en liaison avec lesquelles il se développe.Il n'est donc pas étonnant que lorsque, de plus, la référence formellement unificatrice à la structure formelle disparaît, on n'obtient qu'une description éclatée du phénomène coupant celui-ci en atomes séparés de leur fonctionnement global à la fois dans le temps et dans l'espace. Par exemple, on a montré ici que les SDE opposent les opérations entre elles, le sens de chaque opération à sa pratique, le calcul mental au calcul écrit, le calcul arithmétique au calcul algébrique et cette opposition est validée de manière synchronique (les SDE ne voient pas que la pratique de la division est intimement liée à la pratique du calcul mental).tout autant qu'au plan diachronique puisque, depuis 1970, les diverses opérations sont apprises de manière séparée dans le temps.
On pourrait s'en tenir à cette remarque en limitant la critique de ce type de conception au fait qu'elle n'est pas dynamique, produit des difficultés de compréhension chez les les élèves.et leur encombre inutilement l'esprit de micro-procédures – réellement des automathismes – qu'ils essaient vainement d'appliquer de manière aléatoire à la résolution de problèmes. Un exemple qui sort un peu du cadre strict du calcul mais qui est assez représentatif est l'observation d'élèves ayant appris la proportionnalité par les tableaux – c'est-à-dire sans la règle de trois – tenter de résoudre un problème de proportionnalité : on le voit hésiter pour choisir les cases dans lesquelles il doit mettre les nombres et, qu'il réussisse à trouver le résultat ou non, il ne sait pas, dans aucun des deux cas, pourquoi il a juste ou faux.

Mais la réalité est bien pire puisque la conception localiste – dans le temps et dans l'espace – de la connaissance – et de l'action – justifie également
 

- le refus de la transmission du savoir qui seule permet de dépasser l'horizon géographique borné et assure la liaison avec la passé de l'humanité, condition de maîtrise du futur, et réduit les connaissances de l'élève à ses besoins étroits que l'on vante pour enfler son nombrilisme en le transformant en beauf moderniste (tout en s'étonnant ensuite de comportements que l'on a fortement encouragés : il s'agit là-aussi d'une conséquence de la pensée atomisée qui est incapable de lier historiquement des phénomènes autrement que par des corrélations statistiques assez aléatoires)

- l'abandon de la nécessité des programmes et des progressions qui peuvent soi-disant être remplacés par des projets et des parcours diversifiés faisant perdre toute cohérence à l'enseignement dont on s'étonne ensuite qu'il n'intéresse pas les élèves : l'argument de la difficulté n'en est pas un puisqu'il faut souhaiter des élèves idiots pour qu'ils ne s'intéressent qu'aux choses faciles et que l'intérêt véritable ne peut venir que pour un domaine de la connaissance qui n'est justement pas facile.

- en mathématiques, l'abandon de la cohérence présentée comme rigidité, position qui n'est pas une lutte contre le formalisme-structuraliste mais la dégénérescence du structuralisme lui-même qui transforme la conception d'un programme comme ensemble cohérent mathématiquement en ensemble d'unités indépendantes – et laissant la liberté au professeur d'organiser la cohérence du tout** –  orientée simplement par la "résolution des problèmes concrets" car les problèmes sont "l'activité essentielle des mathématiques"

- une argumentation incohérente de la part de ses défenseurs toujours prêts à se réfugier dans des cas particuliers dans lesquels se complaît le spécialiste borné dont le pire effet est le mode de raisonnement qu'ils enseignent ainsi aux futures générations.

*Cette simple affirmation suffit à montrer le caractère démagogique de ce type de propos : il faut une réflexion mathématique importante, et confrontée à une longue expérience stable d'une progression donnée – au moins 10 ans à mon sens – pour arriver à maîtriser les défauts et les qualités et pédagogiques et mathématiques d'une progression. Mais nous sommes à l'ère de la vitesse...